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Diskussion:Milker

2019-04-20T08:02:50Z

Ruslan:

Any interest finally?
Else I'd cancel this project.

The milk from the 30 cow Biohof is no longer fetched by Andechs since fall 2018. (snow! too long ways! they say. How did they know we'd get so much snow haha)
With this, my interest in cattle has sunk tremendously.

I still have a dozen milk cows myself but I see no future for it. It may be stopped in accordance with other neighbors.

Cattle are significant methane producers and there is too much milk also.
It is a fact.
The future of its production belongs to bigger purely commercial enterprises.

I am out. To win in LOTTO is more likely than to unite farmers. haha

Absurdum:
Say you are a farmer and people will stare at you with disrespect.
Mention your aerospace studies and the same people stare at thou with hatred.

It is a bit a strange world.
Whatever.
I care for the goodhearted beings and ever will.

Have a nice time on this gorgeous planet dear friends.

"Cattle are significant methane producers and there is too much milk also. [...] The future of its production belongs to bigger purely commercial enterprises."
I agree with the first sentence and partially disagree with the last one 😬. The bigger purely commercial enterprises are possible future, but not the best one. I hope, the future will not depend on dairy products at all. Although I do not consume dairy products, I still can see the milker as possible improvement of animal welfare.
--[[Benutzer:Ruslan|Ruslan]] ([[Benutzer Diskussion:Ruslan|Diskussion]]) 10:02, 20. Apr. 2019 (CEST)

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T12:50:16Z

Ruslan: Rechtschreibung korrigiert.

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastischen Modell Fehler zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden, ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschick, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Problem: Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren dazu vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier ein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nur die "ja" Antworten zu betrachten, weil dies ein Erzeuger der <math>\sigma</math>-Algebra, erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>\{W=ja\}</math> bzw. <math>\{W=nein\}</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei den stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist genau so wichtig wie ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal, wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

Wir nennen diese extraordinäre Menschen mit <math>p_i < 1/2</math> – "Antiexperten" 😁.

Schlussfolgerung: Das wichtigste ist es, herauszufinden, wer ein Antiexperte ist.
Jede Meinung mit <math>p_i > 1/2</math> ist wichtig. Wenn man Gegenteil von Antiexperten tut, konwertiert man jede Entscheidung in <math>p_i > 1/2</math>.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."
"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> haben, gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die "ja"-Meinung der ersten Person gleich wichtig ist, wie die "nein"-Meinungen der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben, d.h. <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graphen schlussfolgern:

* Wenn eine wirklich gute Expertin (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und "ja" sagt, dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementierung ==

R implementierung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(sample_consistant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p, x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

sample_consistant<-function(p,x){
# Sample x is NOT consistant, when two persons are always right but
# give different answers.
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren, die immer "richtig" zurückgibt, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

=== Fast keine Ahnung ist auch gut ===
Ich habe ein Gefühl, dass "Fast keine Ahnung"-Leute, das sind Leute mit <math>p_i=1/2+\varepsilon</math>, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T11:28:33Z

Ruslan: Rechtschreibung

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastischen Modell Fehler zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden, ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschick, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Problem: Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren dazu vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei den stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist genau so wichtig wie ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal, wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

Wir nennen diese extraordinäre Menschen mit <math>p_i < 1/2</math> – "Antiexperten" 😁.

Schlussfolgerung: Das wichtigste ist es, herauszufinden, wer ein Antiexperte ist.
Jede Meinung mit <math>p_i > 1/2</math> ist wichtig. Wenn man Gegenteil von Antiexperten tut, konwertiert man jede Entscheidung in <math>p_i > 1/2</math>.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."
"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> haben, gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person gleich wichtig ist, wie die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben, d.h. <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graphen schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und "ja" sagt, dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

=== Fast keine Ahnung ist auch gut ===
Ich habe ein Gefühl, dass "Fast keine Ahnung"-Leute, das sind Leute mit <math>p_i=1/2+\varepsilon</math>, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie gut die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T11:20:19Z

Ruslan: text korrigiert

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastischen Modell Fehler zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden, ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschick, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Problem: Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren dazu vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist genau so wichtig wie ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

Wir nennen diese extraordinary Menschen mit <math>p_i < 1/2</math> "Antiexperten" 😁.

Schlussfolgerung: Das wichtigste ist herauszufinden wer ein Antiexperte ist.
Jede Meinung ist wichtig, wenn <math>p_i > 1/2</math>. Wenn man Gegenteil von Antiexperten tut, konwertiert man jede Entscheidung in <math>p_i > 1/2</math>.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."
"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

=== Fast keine Ahnung ist auch gut ===
Ich habe ein Gefühl, dass "Fast keine Ahnung"-Leute, das sind Leute mit <math>p_i=1/2+\varepsilon</math>, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie gut die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T11:08:49Z

Ruslan: /* Intuitive Ergebnisse */

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastische Modell Feher zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist genau so wichtig wie ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

Wir nennen diese extraordinary Menschen mit <math>p_i < 1/2</math> "Antiexperten" 😁.

Schlussfolgerung: Das wichtigste ist herauszufinden wer ein Antiexperte ist.
Jede Meinung ist wichtig, wenn <math>p_i > 1/2</math>. Wenn man Gegenteil von Antiexperten tut, konwertiert man jede Entscheidung in <math>p_i > 1/2</math>.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."
"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

=== Fast keine Ahnung ist auch gut ===
Ich habe ein Gefühl, dass "Fast keine Ahnung"-Leute, das sind Leute mit <math>p_i=1/2+\varepsilon</math>, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie gut die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T11:08:25Z

Ruslan: antiexperten genaue erklärt

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T10:50:23Z

Ruslan: /* Notizen */

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastische Modell Feher zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

=== Fast keine Ahnung ist auch gut ===
Ich habe ein Gefühl, dass "Fast keine Ahnung"-Leute, das sind Leute mit <math>p_i=1/2+\varepsilon</math>, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie gut die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T10:39:54Z

Ruslan: /* Wenig intuitive Ergebnisse */

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastische Modell Feher zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein wirklich guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T10:38:42Z

Ruslan: /* Wenig intuitive Ergebnisse */

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastische Modell Feher zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T10:25:26Z

Ruslan:

== Warnung ==

Es ist sehr einfach in einem stochastische Modell Feher zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein super guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht sehr nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T10:03:00Z

Ruslan: /* Wenig intuitive Ergebnisse */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

* Wenn man kein super guter Experte ist (<math>p_1</math> nicht sehr nah an 1) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:58:03Z

Ruslan: /* Mathematische Lösung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>
Die Wahrscheinlickeit, dass die richtige Antwort "nein" ist, ist dann das Gegenereignis:

<math display="block">
P(W=nein|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)= 1- P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{richtige Antwort nein}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:51:34Z

Ruslan: improved R implimentation

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
if(result_consitant(p,x)){
m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
return(f(p,x, m))
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
}

result_consitant<-function(p,x){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
pos<-positive(x,p)
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}else{
return(m)
}
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".
</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:44:21Z

Ruslan: /* Implementatierung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, x){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
pos<-positive(x,p)
if(result_consitant(x,p)){
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
# If not consitant or undecided.
return(rbinom(10, 1, prob=0.5))
}

result_consitant<-function(x, p){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0)
decide(x, p) # Decision is "Yes"
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(x, p) # Decision is "No"

</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:43:52Z

Ruslan: Add R implimentation

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementatierung ==

R implementatirung
<syntaxhighlight lang="R">
# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
# p are probabilities for correct answer.
# x are results of a survey.
# Invert x when p < 1/2.
x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
pos<-positive(x,p)
if(result_consitant(x,p)){
if(pos > 0.5){
return(1)
}else if(pos < 0.5){
return(0)
}
}else{
stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
}
# If not consitant or undecided.
return(rbinom(10, 1, prob=0.5))
}

result_consitant<-function(x, p){
# A reasult is NOT consitant, when two persons who are always right but
# give different answers
sure_events = unique(x[p]==1)
return (length(sure_events)<=1)
}

positive<-function(x,p){
# Return probability for the positive_answer.
a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0)
decide(x, p) # Decision is "Yes"
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(x, p) # Decision is "No"

</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:34:04Z

Ruslan:

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Implementation ==

R implementation
<syntaxhighlight lang="R">

</syntaxhighlight>

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:28:27Z

Ruslan: 1 gegen 2, grafik interpretieren.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''weniger'' als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung ''mehr'' als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> gilt für die obere Formel:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
Die gerade blaue Linie, zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben <math>p_1 = p_2 = p_3 </math>. Man kann aus diesem Graph schlussfolgern:

* Wenn man kaum Ahnuhng hat (<math>p_1</math> nah an 0.5) und sagt "ja", dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit "nein" zu überstimmen.

* Wenn ein wirklich guter Experte (<math>p_1</math> sehr nah an 1) "ja" sagt, dann muss man wirklich gut sein (<math>p_2</math> und <math>p_3</math> auch nahe 1) und diese Meinung mit "nein" überstimmen.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Datei:Indifference-plot.png

2019-03-30T09:14:19Z

Ruslan: Ruslan lud eine neue Version von Datei:Indifference-plot.png hoch

Beispiel, wenn Meinung von einem Menschen ist gleichwertig der Meingung von zwei aderen Menschen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:12:23Z

Ruslan: /* Intuitive Ergebnisse */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

TODO: formale Begründung aufschreiben.

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:08:38Z

Ruslan:

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{, wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T09:08:03Z

Ruslan: Entscheidungsfunktion ist jetzt Wohl definiert

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit "ja" antwortet:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P\big(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein\big)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir kürzen überall <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>, dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen, gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> ein und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n, m) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
m \text{(ein Münzenwurf)} & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T08:59:08Z

Ruslan: /* Entscheidung basierend auf einer Umfrage */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rrcl}
f&:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
&(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)& \mapsto &f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T08:55:50Z

Ruslan: Text verbessert. Mehr Zusatzinfo. Entscheidungsfunktion verbessert. Neue Referenzen.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unswer Hauptwerkzeug ist '''mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen'''. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstüzt. Moe hat ein Verfahren vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speizeillen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

== Mathematisches Modell ==

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein).</math>
Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine "nein"- und eine "ja"-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge<ref>Ich wähle eine Untermenge, weil man in Wahrscheinlichkeitstheorie zwischen einer Unabhängigkeit und einer paarweisen Unabhängigkeit unterscheiden muss. Es ist ausreichend, nurdie "ja" Antworten zu betrachten, weil es ist ein Erzeuger von der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt durch alle <math>\sigma (X_i)_{1 \leq i \leq n}</math> bedingt durch <math>W=ja</math> bzw. <math>W=nein</math>. </ref> <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">
\begin{align}
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = ja)\\
P\big(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =nein\big)&=\prod_{i \in I} P(X_i = ja|W = nein).
\end{align}
</math>

=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(p_1,\ldots,p_n, x_1,\ldots,x_n,m)</math>.
* Parametren <math>(p_1,\ldots,p_n)</math>
* Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) "ja" oder "nein".
* Einem Münzenwurf <math>m \in \{ja, nein\}</math>, wenn sie unentschieden ist.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:[0,1]^n\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)} & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n, m) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,n\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c</math> in <math>\{1,\ldots,n\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Referenzen ==
Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Hilfe:Schnellkurs für wichtigste Wiki-Formatierungen

2019-03-30T07:56:39Z

Ruslan: Tastaturkürzel korrigiert.

{{Bildwegweiser Hilfe}}
Um Formatierungen auszuprobieren, kannst Du Dir unter Deiner Benutzerseite [[Spezial:MyPage/Spielwiese Formatierungen|eine Unterseite „Spielwiese Formatierungen“ anlegen]], auf der Du beliebige Formatierungen selbst ausprobieren kannst. In der [[Hilfe:Bearbeiten]] findest Du ausführlichere Beispiele.

<big>Hier nun ein Schnellkurs für die wichtigsten Formatierungen im Wiki:</big>
* ''jede'' neue Leerzeile bewirkt einen ''neuen'' Absatz
* <code><nowiki>'''fett''', ''kursiv'', und '''''fett-kursiv'''''</nowiki></code><br /> ergibt '''fett''', ''kursiv'', und '''''fett-kursiv'''''
* <code><nowiki>[[Seitenname]]</nowiki></code> verlinkt zur internen {{SITENAME}} Wikiseite [[Seitenname]] <br />(Hinweis: ein [[roter Link]] kennzeichnet die Seite als noch nicht existierend, aber als '''neu erstellbare Seite''')
* <code><nowiki>[[Seitenname | abweichender Text]]</nowiki></code> verlinkt auf dieselbe Seite, aber mittels Alternativtext durch ein zusätzliches „|“ getrennt und ergibt [[Seitenname | abweichender Text]].
* <code><nowiki>[http://openstreetmap.org Link nach openstreetmap.org]</nowiki></code> verlinkt die externe Seite „<nowiki>http://openstreetmap.org</nowiki>“ als [http://openstreetmap.org Link nach openstreetmap.org], zusätzlich gekennzeichnet durch einen Pfeil [[File:External.png|10px|link=]]. (Hinweis: Trennung erfolgt mit Leerzeichen „<tt> </tt>“ statt „|“).

<big>Einige wichtige Formatierungen funktionieren ''nur'', wenn das jeweilige Zeichen genau das ''erste'' Zeichen der Zeile ist:</big>

<code>* </code>→ unnummerierter Listenpunkt (** → doppelte, *** → dreifache Einrückung)<br />
<code># </code>→ nummerierter Listenpunkt (## → doppelte, ### → dreifache Einrückung)<br />
<code>: </code>→ Zeile eingerückt (:: → doppelte, ::: → dreifache Einrückung)<br />
<code>; Begriff : Erklärung</code> → Begriffserklärungen<br />
<code>== Abschnitt == </code>→ Überschriften (Hinweis: „=“ muß die Überschrift umschließen; == → 2. Ebene, === → 3. Ebene )<br />
„<code> Mit einem Leerzeichen beginnende Zeilen erscheinen als gerahmter Schreibmaschinentext vor grauem Hintergrund ohne Zeilenumbruch</code>“ ergibt: <br />
Mit einem Leerzeichen beginnende Zeilen erscheinen als gerahmter Schreibmaschinentext vor grauem Hintergrund ohne Zeilenumbruch

----

{{links|{{Logo|Tipp}}}} Bei ''wichtigem Text'', an dem man lange gearbeitet hat, sicher stellen, dass man eine Kopie hat, sonst kann das Werk bei technischen Fehlern verlorengehen (Seitenladefehler, Browser stürzt ab etc.). Vor dem Klicken auf {{Tastatur|{{int:preview}}}} besser den Seiteninhalt kopieren mittels {{Tastatur|Strg}} + {{Keyboard|A}} (alles markieren) und {{Tastatur|Strg}} + {{Tastatur|C}} (kopieren).

[[Kategorie: Hilfe]]
[[Kategorie:Seitengestaltung]]
[[Kategorie:Formatierung]]

Diskussion:Naives Entscheidungsmodel

2019-03-30T06:14:47Z

Ruslan: Ruslan verschob die Seite Diskussion:Naives Entscheidungsmodel nach Diskussion:Naives Entscheidungsmodell: Rechtschreibfehler im Titel

#WEITERLEITUNG [[Diskussion:Naives Entscheidungsmodell]]

Diskussion:Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T06:14:47Z

Ruslan: Ruslan verschob die Seite Diskussion:Naives Entscheidungsmodel nach Diskussion:Naives Entscheidungsmodell: Rechtschreibfehler im Titel

Hej-hej Ruslan,

ich will nur Anregung geben:
* an wen adressierst Du diesen Text ? An Modellierer oder an Alltagsleute ?
* der Text wirkt auf mich verkomplizierend, wegen der Formeln
* falls es eine ''Hilfe''(Stellung) werden soll – für uns oder die Öffentlichkeit – dann besser in den Namensraum Hilfe verschieben
* füge eine geeignete Kategorie hinzu in der man diesen Kontext wiederfindet, z.B. <code><nowiki>[[Kategorie: Hilfe]]</nowiki></code> oder entsprechendes, was dem Inhalt dient. Für Kategorisierung kannst Du das Helferlein Hot-Cat verwenden, siehe [[Hilfe:Kategorisieren von Seiten#Pflege_von_Kategorien|Abschnitt Pflege von Kategorien in der Hilfe]].

viele Grüße [[User:Andreas_Plank|Andreas]] ([[User_talk:Andreas_Plank|Diskussion mit Andreas]]) 00:03, 18. Mär. 2019 (CET)

Naives Entscheidungsmodel

2019-03-30T06:14:47Z

Ruslan: Ruslan verschob die Seite Naives Entscheidungsmodel nach Naives Entscheidungsmodell: Rechtschreibfehler im Titel

#WEITERLEITUNG [[Naives Entscheidungsmodell]]

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-30T06:14:46Z

Ruslan: Ruslan verschob die Seite Naives Entscheidungsmodel nach Naives Entscheidungsmodell: Rechtschreibfehler im Titel

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{richtige Antwort ja}) > P(\text{falsche Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1- P(\text{richtige Antwort ja}) \Leftrightarrow P(\text{richtige Antwort ja}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-29T08:39:07Z

Ruslan: /* Mathematische Lösung */

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-28T20:22:55Z

Ruslan: /* Interpretation der Lösung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{ja richtige Antwort}) > P(\text{ja falsche Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1- P(\text{ja richtige Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
== Interpretation der Lösung ==
=== Intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== Wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-28T20:20:56Z

Ruslan: /* wenig intuitive Ergebnisse */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{ja richtige Antwort}) > P(\text{ja falsche Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1- P(\text{ja richtige Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
== Interpretation der Lösung ==
=== intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.

[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-28T20:20:35Z

Ruslan: add example for indiferent answers for yes and no

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{ja richtige Antwort}) > P(\text{ja falsche Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1- P(\text{ja richtige Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
== Interpretation der Lösung ==
=== intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">
p_1 \cdot (1-p_2)\cdot (1-p_3) > (1-p_1) \cdot p_2 \cdot p_3.
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math> wir wählen "Ja" nur wenn gilt:
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&p_1 \cdot (1-p_2)^2 &> (1-p_1) \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 ((1-p_2)^2 + p_2^2) &> \cdot p_2^2 \\
\Longleftrightarrow & p_1 &> \frac{p_2^2}{(1-p_2)^2 + p_2^2}.
\end{array}
</math>
Der Graph unten zeigt, wenn die Meinung "ja" der ersten Person, ist "gleich wichtig" als die Meinungen "nein" der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie.
[[Datei:Indifference-plot.png]]

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Datei:Indifference-plot.png

2019-03-28T20:17:20Z

Ruslan:

Beispiel, wenn Meinung von einem Menschen ist gleichwertig der Meingung von zwei aderen Menschen.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-28T19:44:11Z

Ruslan: einige grobe Zwischenergebnisse hinzugefügt. Der Text ist noch nicht fertig.

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

=== Mensch ===
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

=== Wirklichkeit ===
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

=== Wissen ===
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
=== Entscheidung basierend auf einer Umfrage ===
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{ja richtige Antwort}) > P(\text{ja falsche Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1- P(\text{ja richtige Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
== Interpretation der Lösung ==
=== intuitive Ergebnisse ===

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vetraue nie deiner Intuition bei der Lösung der stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, desswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

"Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen."

Begründung "<math>h</math> (TODO: noch zu definierien) ist maximal wenn <math>p_i</math> maximal sind." (für alle <math>p_i \geq 1/2</math>)

"Frag soviele Menschen wie möglich".

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

=== wenig intuitive Ergebnisse ===

"Wer häufig daneben liegt, ist ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil."

Begründung <math>p_i/(1-p_i)</math> ist genau dann maximal wenn <math>(1-p_i)/p_i</math> minimal ist.

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **weniger** als zwei Personen mit wenig Erfahrung."

"Manchmal eine Person mit viel Erfahrung weiß **mehr** als zwei Persone nmit wenig Erfahrung."

Wir nummerieren die Mensche mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt "Ja" aber 2 und 3 sagen "nein", wir wählen "ja" nur wenn

<math display="block">\frac{p_1}{(1-p_1)}\frac{1-p_2}{p_2}\frac{1-p_3}{p_3}>1
\Longleftrightarrow \frac{p_1}{(1-p_1)}>\frac{p_2}{(1-p_2)}\frac{p_3}{(1-p_3)}
</math>

Wenn zwei weniger Erfahrene haben gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten <math>p_1 = p_2</math>

<math display="block">
\begin{array}{rrl}
&\frac{p_1}{(1-p_1)}&>\big(\frac{p_2}{(1-p_2)}\big)^2
\end{array}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-28T19:23:52Z

Ruslan: /* Mathematische Lösung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

===== Mensch =====
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

===== Wirklichkeit =====
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

===== Wissen =====
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
===== Entscheidung basierend auf einer Umfrage =====
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(\text{ja richtige Antwort}) > P(\text{ja falsche Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1- P(\text{ja richtige Antwort}) \Leftrightarrow P(\text{ja richtige Antwort}) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T20:30:04Z

Ruslan: /* Mathematische Lösung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

===== Mensch =====
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

===== Wirklichkeit =====
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

===== Wissen =====
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
===== Entscheidung basierend auf einer Umfrage =====
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(richtige Antwort) > P(falsche Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1- P(richtige Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>
oder
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} \frac{p_i}{1-p_i} \prod_{i \in J^c}\frac{1-p_i}{p_i} & > 1.
\end{array}
</math>

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

<math display="block">
f:(x_1,\ldots,x_n) =
\begin{cases}
ja & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
nein & \text{wenn } \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) < \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i \\
\text{eine Münze werfen} & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T20:16:54Z

Ruslan: /* Entscheidung basierend auf einer Umfrage */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

===== Mensch =====
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

===== Wirklichkeit =====
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

===== Wissen =====
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
===== Entscheidung basierend auf einer Umfrage =====
Unsere Entscheidung ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(richtige Antwort) > P(falsche Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1- P(richtige Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T20:16:28Z

Ruslan: /* Umfrage */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

===== Mensch =====
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

===== Wirklichkeit =====
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

===== Wissen =====
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
===== Entscheidung basierend auf einer Umfrage =====
Eine Umfrage ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(richtige Antwort) > P(falsche Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1- P(richtige Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T18:50:24Z

Ruslan: /* Mathematische Lösung */

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Moe hat ein Verfahren für die Projekt Unterstützung vorgeschlagen. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

== Mathematisches Modell ==

===== Mensch =====
Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariablen <math>X_i</math>, <math> i \in = \{1, ,\ldots, n\}</math>. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit "ja" oder "nein". Das bedeutet <math>X_i \in \{ja,nein\}</math>. Um das Modell zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die Menschen, die Fragen unabhänging von einenader beantworten.

===== Wirklichkeit =====
Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable <math>W \in \{ja,nein\}</math>. Sie repräsentiert die richtige Antwort "ja" oder "nein". Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(W =ja)=P(W =nein)=1/2</math>.

===== Wissen =====
Jeder Mensch kann unterschiedliches Wissen haben. Das Drucken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeit die richtige Antwort zu erraten.
<math display="block">p_i:= P(X_i =ja|W =ja):=P(X_i = nein|W = nein)</math>
Hier haben wir gleichzeitig eine Annahme gemacht, dass der Mensch gleich gut eine "nein" und eine "ja" Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einenader die Frage beantworten gilt für jede Untermengen <math> I \subset \{1,\ldots,n\}</math>
<math display="block">P(\bigcap_{i \in I} X_i =ja |W =ja):=\prod_{i \in I} P(X_i = nein|W = nein) </math>
===== Umfrage =====
Eine Umfrage ist eine Funktion <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math>, die von den Menschen Entscheidungen abhängig ist und eine Antwort "ja" oder "nein" zurück gibt.

<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f:{\{ja,nein}\}^n & \longrightarrow &\{ja,nein\} \\
(x_1,\ldots,x_n) & \mapsto &f(x_1,\ldots,x_n)
\end{array}
</math>

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge <math>J \subset \{1,\ldots,2\} </math> ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit "ja" beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge <math>J^c \subset \{1,\ldots,2\} </math> representiert die "nein"-Entscheidungen.

== Mathematische Lösung ==
Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit deren Antwort "ja" ist:
<math display="block">P(richtige Antwort) = P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein).</math>
Mit Bayes Formula gilt
<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja)
}{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)\cdot P(W=ja) + P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)\cdot P(W=nein)
}.
</math>

Wir können überall kürzen <math>P(W=nein) = P(W=nein) = 1/2 </math>
Dann gilt

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{
P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)
}{P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=ja)+P(\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein|W=nein)
}.
</math>
Dadurch, dass die Menschen unabhängign von einander die Etscheidungen treffen gilt:

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
}{\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=ja) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=ja)
+\prod_{i \in J} P(X_i = ja|W=nein) \prod_{i \in J^c}P(X_i = nein|W=nein)
}.
</math>

Jetzt setzen wird die definierte Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten <math> P(X_i=ja | W=ja) = P(X_i=nein | W=nein) = p_i </math> und die damit Wahrscheinlichkeiten für falschen Antworten <math> P(X_i=nein | W=ja) = P(X_i=ja | W=nein) = 1-p_i </math> und erhalten

<math display="block">
P(W=ja|\bigcap_{i \in J} X_i = ja, \bigcap_{i \in J^c} X_i = nein)
= \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
}.
</math>

Uns interessiert, wenn diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist dann
<math display="block">P(richtige Antwort) > P(falsche Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1- P(richtige Antwort) \Leftrightarrow P(richtige Antwort) > 1/2.</math>

Also wenn gilt
<math display="block">
\begin{array}{rrl}
& \frac{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i)
}{\prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) + \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i
} & > 1/2 \\
\Longleftrightarrow & \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \in J^c}(1-p_i) & > \prod_{i \in J}(1- p_i) \prod_{i \in J^c}p_i.
\end{array}
</math>

== Notizen ==
=== "ja" und "nein" vs "richtig" und "falsch" ===
Mein erstes Modell war nicht mit "ja" und "nein" sondern mit "richtig" und "falsch". Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren die immer "richtig" ist, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem "ja"-"nein"-Modell analysieren.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T18:34:27Z

Ruslan: Wahrscheinlichkeit für die richtige Entscheidung hinzugefügt

Hilfe:Wiki Cheatsheet

2019-03-24T18:14:02Z

Ruslan: add syntax for mathematical formals

<languages/>
__NOTOC__
__NOEDITSECTION__
<div align="center">

{|align="center" style="width:100%; border:2px #a3b1bf solid; background:#f5faff; text-align:left;"
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<h2 style="margin:.5em; margin-top:.1em; margin-bottom:.1em; border-bottom:0; font-weight:bold;"><translate> Wikipedia Cheatsheet</translate></h2>
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| colspan="3" style="background:#E6F2FF; padding: 0.2em; font-size: 0.9em; text-align:center;" | '''<translate> Works anywhere in the text</translate>'''
|-
| width="30%" style="background:#E6F2FF; padding:0.3em; font-size: 0.9em; text-align:center;"|<translate> Description</translate>
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| width="30%" style="background:#E6F2FF; padding:0.3em; font-size: 0.9em; text-align:center;"|<translate> You get</translate>
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'''<translate> bold</translate>'''
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<translate> [[Name of page|Text to display]]</translate>
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|
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|<translate> [[Wikipedia:Help:Picture tutorial|Add an image]]</translate>
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|
<translate> [[File:TiVA 2 1 lenz2 sim safety extreme.png|thumb|alt=Alt text|Your Caption text]]</translate>
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|-
|<translate> [[Wikipedia:Help:Picture tutorial|Add an image with a link]]</translate>
|
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<translate> [[File:TiVA 2 1 lenz2 sim safety extreme.png|thumb|link=http://opensourceecology.de/tag/wind-turbine-2 |alt=Alt text|Your Caption text]]</translate>
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|<translate> Add a page to a [[Wikipedia:Help:Category|category]]</translate>
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|
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|
[[Special:Mypage|<translate> Username</translate>]] ([[Special:Mytalk|<translate> talk</translate>]]) {{CURRENTTIME}}, {{CURRENTDAY}} {{CURRENTMONTHNAME}} {{CURRENTYEAR}} (UTC)

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|
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| style="background:#E6F2FF; padding:0.3em; font-size: 0.9em; text-align:center;"|<translate> You type</translate>
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|<translate> [[Wikipedia:Help:Redirect|Redirect to another page]]</translate>
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|<translate> Section headings</translate><br />
<div style="padding: 0.7em .5em; font-size:0.9em;">''<translate> A Table of Contents will automatically be generated when four headings are added to an article.</translate>''</div>
<div style="padding: 0em .5em; font-size:0.9em;">''<translate> Do not use =Level 1=; it is reserved for page titles.</translate>''</div>
|
<tt><translate> <nowiki>==Level 2==</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>===Level 3===</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>====Level 4====</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>=====Level 5=====</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>======Level 6======</nowiki></translate></tt>
|

==<translate> Level 2</translate>==
===<translate> Level 3</translate>===
====<translate> Level 4</translate>====
=====<translate> Level 5</translate>=====
======<translate> Level 6</translate>======
|-
|colspan="3" style="border-top:1px solid #cee0f2;"|
|-
|<translate> Bulleted list</translate>
|<translate>


<tt>* One</tt><br />
<tt>* Two</tt><br />
<tt>** Two point one</tt><br />
<tt>* Three</tt>
</translate>
|<translate>


* One
* Two
** Two point one
* Three
</translate>
|-
|colspan="3" style="border-top:1px solid #cee0f2;"|
|-
|<translate> Numbered list</translate>
|<translate>


<tt># One</tt><br />
<tt># Two</tt><br />
<tt>## Two point one</tt><br />
<tt># Three</tt>
</translate>
|<translate>


# One
# Two
## Two point one
# Three
</translate>
|-
|colspan="3" style="border-top:1px solid #cee0f2;"|
|-
|<translate> Indenting text</translate>
<div style="padding: 0.7em .5em; font-size:0.9em;">''<translate> This is used when replying on a [[Wikipedia:Help:Talk pages|talk page]], to make it easier to follow conversations.</translate>''</div>
|
<tt><translate> <nowiki>no indent (normal)</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>:first indent</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>::second indent</nowiki></translate></tt><br />
<tt><translate> <nowiki>:::third indent</nowiki></translate></tt>
|<translate>

no indent (normal)<br />
:first indent
::second indent
:::third indent
</translate>
|
|-
|colspan="3" style="border-top:1px solid #cee0f2;"|
|-
|Mathematical formulas
<div style="padding: 0.7em .5em; font-size:0.9em;">''You can use inline and block formulas with LaTeX syntax.''</div>
<div style="padding: 0.7em .5em; font-size:0.9em;">''For more information see https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula''</div>
|
<tt> <nowiki><math>\sqrt{a} = \frac{1}{2} </math> </nowiki></tt><br />
<tt><nowiki><math display="block">\sqrt{a} = \frac{1}{2} </math></nowiki></tt><br />
|
<math>\sqrt{a} = \frac{1}{2} </math><br />
<math display="block">\sqrt{a} = \frac{1}{2} </math>
|
|}
</div>
<noinclude>

[[Category:<translate> Wiki/en</translate>]]
[[Category:<translate> Hilfe/en</translate>]]

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-24T10:24:07Z

Ruslan: Unabhängigkeitannahme hinzugefügt. Formulas in die Mitte geschrireben.

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-17T10:14:25Z

Ruslan: /* Mathematisches Modell */

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-17T07:36:37Z

Ruslan: /* Mathematisches Modell */

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-17T07:28:04Z

Ruslan:

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-17T07:04:21Z

Ruslan:

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-16T07:48:54Z

Ruslan: /* Problem */

Naives Entscheidungsmodell

2019-03-16T07:43:59Z

Ruslan: Die Seite wurde neu angelegt: „== Problem == Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht? Die Antwort ist doch klar: wir sind demokratisch, wir machen eine Umfrage. Nu…“

== Problem ==
Wie kann OSEG entscheiden ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir sind demokratisch, wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.
Und wir müssen auch berücksichtigen dass diese Vorgehensweise technisch möglich ist.

== Hintergrund ==
Diese Aufgabe entstand beim Hackathon 2019. Ich werde hier erstmal mein naives mathematisches Model erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte in diesen Aufgaben bin -- welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken was Profis dazu gesagt haben.

== Einfaches Problem ==
Unser model soll zuerst möglichst einfach sein. Wir gehen von <math>n</math> Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedliches Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit "ja" oder "nein" beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

Profil:Ruslan Krenzler

2019-01-03T01:21:16Z

Ruslan: Angelegt Profil von Ruslan Krenzler

{{Profil Info
|Name=Ruslan Krenzler
|Ort=Hamburg, Germany
|Xing Name=https://www.xing.com/profile/Ruslan_Krenzler
|Beruf=Mathematiker und Informatiker
|Frage warum mitmachen=Kurzfristig -- Spaß. Mittelfristig -- ein schönes Gefühl etwas Gutes gemacht zu haben. Langfristig - Weltfrieden und Glück für alle :).
|Frage wie mitwirken=Durch mein Fachwissen.
|Frage Wünsche an die Bewegung=Wissenschaftlich und kritisch arbeiten.
|Verfügbarkeit Kommentar=4, wenn ich nicht gerade für OSE-US arbeite ;).
|sonstige Motivationen=Ich lerne eine Menge von anderen OSEler. Dieses Wissen habe ich schon beruflich benutzt. In meinem Hauptberuf mache ich viel Theorie, bei OSE kann ich reale Dinge bauen.
|Bauwesen, Baudesign, Statik=1
|Maschinenbau – Physik=1
|Maschinenbau – 3D/2D-CAD Konstruktion=3
|Maschinenbau – FEM Simulation=1
|Elektronik – Hardware=3
|Elektronik – Software, Mikrocontrollerprogrammierung=3
|IT – Hardware=3
|IT – Web-Entwicklung (Javascript, CSS, PHP, …)=1
|Netzwerktechnik und Kommunikationstechnik=3
|Videoschnitt=2
|Bloggen=1
|Grafik – Inkscape, GIMP=3
|Englische Sprachkenntnisse=4
|Übersetzung (Eng-Deu) und Korrekturlesen=3
|Italienische Sprachkenntnisse=1
|Russische Sprachkenntnisse=4
|Spanische Sprachkenntnisse=2
}}

OSE Piping Workbench Ports

2018-12-02T07:26:49Z

Ruslan:

==Ports==
The OSE Piping Workbench creates fittings. It uses '''ports''' to describe the ends of the fittings. The Ports helps to fit the fittings together correctly.
[[Datei:Ports.svg|mini|Ports of a tee in OSE Piping workbench.]]

Every port is described by:
* Its position <math>a \in \mathbb{R}^3</math>.
* A normal vector <math>n \in \mathbb{R}^3</math> which points out of the fitting and it is perpendicular to the port plane.
* A 0 reference angle vector <math>r \in \mathbb{R}^3</math> it shows where is the degree 0°. <math>r</math> must lie in the port plane.
All three vectors refer to local coordinates.

Instead of using three separate vectors, we represent the port by its position <math>A</math> and its orientation <math>A</math>.

The position is a FreeCAD Vector <math>a \in \mathbb{R}^3</math>. The orientation is a FreeCAD rotation matrix. When we apply matrix <math>A</math> on vectors <math>x = (1,0,0)</math>, <math>y = (0,1,0)</math>, <math>y = (1,0,0)</math>, it creates vectors <math>x^*</math>, <math>y^*</math>, <math>y^*</math> such that
* <math>x^*</math> points in the same direction as the port's normal, <math>x^* = n</math>.
* <math>y^*</math> shows in the same direction as the angular reference, <math>y^* = r</math>.

For example in a tee fitting, the matrix <math>A</math> is a rotation along y-axis by <math>\phi = 90^{\circ}</math>, and then a rotation along z axis by <math>\psi = -90^{\circ}</math>. See [https://www.freecadweb.org/wiki/Placement FreeCAD Rotation] for more details about rotation.

[[Datei:Port-orientation.svg|mini|Orientation of port 2 in a tee fitting.]]

==Adjust two fittings==
When we adjust one fitting to another we want rotate the first fitting in such a way that its socket points in opposite directions as a socket of the other fitting.
Let us assume that the port of the adjusting fitting has position <math>a'</math>, orientation <math>A'</math> with normal <math>n'</math> and 0 degree reference <math>r'</math>. Everything refering to the local coordinates of the fitting.

The other fitting has position <math>p</math> and rotation <math>R</math>. The local properties of its port has
has local position <math>a</math>, local orientation <math>A</math>, local normal <math>n</math> and local 0 degree reference <math>r</math>.
That means the corresponding global parameter of the port are

<math display="block">
\begin{align}
a_g &:= p+Ra \\
n_g &:= Rn \\
r_g &:= Rr \\
\end{align}
</math>

We want to find a rotation matrix <math>B</math> of the moved fitting, such that the new orientation of its port *in relating to global coordinate* has following properties:
* Its normal vector looks to opposite direction as the normal of the other fitting: <math>Bn'=-n_g</math>.
* Its zero-degree reference points to the same direction <math>Br'=r_g</math>

We compose the matrix from three matrices <math>A'^{-1}</math><math>A_r</math> and <math>A</math>.
* <math>A'^{-1}</math> rotates the fitting in such a way that its port points to x-direction, and 0 reference to y-direction.
* <math>A_r</math> rotates the fitting opposite to x-direction, but its 0 reference still points to y-direction.
* <math>A</math> rotate oposite rotated port to the same direction as the port of the other fitting.
* <math>R</math> rotate to corresponding global rotation.
Note. Rotation operations are not commutative and we need to perform all the rotation from right to left.
We have <math display="block">B:= R \cdot A \cdot A_r \cdot A'^{-1}</math>.

== Ports in Python ==
In ''OsePiping.Port'' class the port position and orientation are stored in the ''Port.placement'' attribute as a ''FreeCAD.Placement'' object.

The matrix <math>A_r</math> can be expressed as 180° rotation along the y axis: ''FreeCAD.Rotation(0, 180, 0)''.