Naives Entscheidungsmodell

Warnung

Es ist sehr einfach in einem stochastischen Modell Fehler zu machen. Hier sind nur meine vorläufigen Ergebnisse.

Problem

Wie kann OSEG entscheiden, ein Projekt zu unterstützen oder nicht?

Die Antwort ist doch klar: wir nutzen unser gesamtes Wissen – wir machen eine Umfrage. Nun sind nicht alle Menschen Experten in Allem. Wie machen wir diese Umfrage so geschickt, dass die Antwort möglichst richtig ist? Diese Frage möchten wir hier beantworten.

Unser Hauptwerkzeug ist mathematische Modellierung mit sehr einfachen Modellen. Auch wenn die Realität sehr komplex ist, können wir aus einfachen Beispielen viel lernen.

Hintergrund

Diese Aufgabe entstand während des Hackathons 2019. Problem: Eine Gruppe von OSEG soll entscheiden ob OSEG ein Projekt mit offiziell unterstützt. Moe hat ein Verfahren dazu vorgeschlagen: Umfrage von OSEG nicht Experten, OSEG Experten und speziellen OSEG Leuten damit alles rechtlich korrekt ist.

Ich werde hier ein naives mathematisches Modell dazu erstellen. Es ist naiv, weil ich kein Experte auf diesem Gebiet bin – welch eine Ironie 😬. Ich werde hier zuerst meine Fragen und Annahmen sammeln und dann gucken, was Profis dazu sagen.

Mathematisches Modell

Unser Problem soll möglichst einfach sein. Wir gehen von $n$ Menschen aus. Alle diese Menschen haben unterschiedlichen Wissenstand. Sie müssen eine Frage mit „ja“ oder „nein“ beantworten. Diese Antwort kann objektiv korrekt oder falsch sein. Wir müssen diese Antworten so schlau kombinieren, dass unser Ergebnis so korrekt wie möglich ist.

Mensch

Wir modellieren jeden Menschen durch eine Zufallsvariable $X_{i}$, $i\in =\{1,,\ldots ,n\}$. Jeder Mensch beantwortet eine Frage mit „ja“ oder „nein“. Das bedeutet $X_{i}\in \{ja,nein\}$. Wir nehmen an, dass die Menschen, die Fragen unabhängig von einander beantworten.

Wirklichkeit

Wir modellieren die Wirklichkeit, als eine Zufallsvariable $W\in \{ja,nein\}$. Sie repräsentiert die richtige Antwort „ja“ oder „nein“. Bevor wir Menschen fragen, haben wir überhaupt keine Ahnung, was die richtige Antwort ist, daher gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(W=ja)=P(W=nein)=1/2$.

Wissen

Jeder Mensch hat unterschiedliches Wissen. Das drücken wir durch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, die richtige Antwort zu erraten

$$p_{i}:=P(X_{i}=ja|W=ja):=P(X_{i}=nein|W=nein).$$

Hier haben wir gleichzeitig angenommen, dass der Mensch gleich gut eine „nein“- und eine „ja“-Antwort erraten kann.

Weil die Menschen unabhängig von einander die Frage beantworten, gilt für jede Untermenge $I\subset \{1,\ldots ,n\}$

$${\begin{aligned}P{\big (}\bigcap _{i\in I}X_{i}=ja|W=ja{\big )}&=\prod _{i\in I}P(X_{i}=ja|W=ja)\\P{\big (}\bigcap _{i\in I}X_{i}=ja|W=nein{\big )}&=\prod _{i\in I}P(X_{i}=ja|W=nein).\end{aligned}}$$

Entscheidung basierend auf einer Umfrage

Unsere Entscheidung ist eine Funktion $f(p_{1},\ldots ,p_{n},x_{1},\ldots ,x_{n},m)$.

• Parameter $(p_{1},\ldots ,p_{n})$
• Sie hängt von den Menschen Entscheidungen (x_1,\ldots,x_n) „ja“ oder „nein“.
• Einem Münzenwurf $m\in \{ja,nein\}$, wenn sie unentschieden ist.

$${\begin{array}{rrcl}f&:[0,1]^{n}\times {\{ja,nein}\}^{(n+1)}&\longrightarrow &\{ja,nein\}\\&(p_{1},\ldots ,p_{n},x_{1},\ldots ,x_{n},m)&\mapsto &f(p_{1},\ldots ,p_{n},x_{1},\ldots ,x_{n},m)\end{array}}$$

Die Entscheidungen aller Menschen können wir mit einer Menge $J\subset \{1,\ldots ,n\}$ ausdrücken. Diese Menge enthält alle Indizes, die die Frage mit „ja“ beantwortet haben. Das Komplement dieser Menge $J^{c}$ in $\{1,\ldots ,n\}$ repräsentiert die „nein“-Entscheidungen.

Mathematische Lösung

Nachdem alle Menschen ihre Antworten gegeben haben, können wir berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit die Reailtät auch mit „ja“ antwortet:

$$P({\text{richtige Antwort ja}})=P{\big (}W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein{\big )}.$$

Mit Bayes Formula gilt

$$P{\big (}W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein{\big )}={\frac {P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=ja)\cdot P(W=ja)}{P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=ja)\cdot P(W=ja)+P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=nein)\cdot P(W=nein)}}.$$

Wir kürzen überall $P(W=nein)=P(W=nein)=1/2$, dann gilt

$$P(W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein)={\frac {P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=ja)}{P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=ja)+P(\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein|W=nein)}}.$$

Dadurch, dass die Menschen unabhängigen von einander die Entscheidungen treffen, gilt:

$$P(W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein)={\frac {\prod _{i\in J}P(X_{i}=ja|W=ja)\prod _{i\in J^{c}}P(X_{i}=nein|W=ja)}{\prod _{i\in J}P(X_{i}=ja|W=ja)\prod _{i\in J^{c}}P(X_{i}=nein|W=ja)+\prod _{i\in J}P(X_{i}=ja|W=nein)\prod _{i\in J^{c}}P(X_{i}=nein|W=nein)}}.$$

Jetzt setzen wird die definierten Wahrscheinlichkeiten für richtige Antworten $P(X_{i}=ja|W=ja)=P(X_{i}=nein|W=nein)=p_{i}$ und damit Wahrscheinlichkeiten für falsche Antworten $P(X_{i}=nein|W=ja)=P(X_{i}=ja|W=nein)=1-p_{i}$ ein und erhalten

$$P(W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein)={\frac {\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})}{\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})+\prod _{i\in J}(1-p_{i})\prod _{i\in J^{c}}p_{i}}}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die richtige Antwort „nein“ ist, ist dann das Gegenereignis:

$$P(W=nein|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein)=1-P(W=ja|\bigcap _{i\in J}X_{i}=ja,\bigcap _{i\in J^{c}}X_{i}=nein)$$

Uns interessiert, ob diese Wahrscheinlichkeit größer ist als die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort. Das ist

$$P({\text{richtige Antwort ja}})>P({\text{richtige Antwort nein}})\Leftrightarrow P({\text{richtige Antwort ja}})>1-P({\text{richtige Antwort ja}})\Leftrightarrow P({\text{richtige Antwort ja}})>1/2.$$

Also wenn gilt

$${\begin{array}{rrl}&{\frac {\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})}{\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})+\prod _{i\in J}(1-p_{i})\prod _{i\in J^{c}}p_{i}}}&>1/2\\\Longleftrightarrow &\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})&>\prod _{i\in J}(1-p_{i})\prod _{i\in J^{c}}p_{i}.\end{array}}$$

Unsere Entscheidungsfunktion ist somit:

$$f:(p_{1},\ldots ,p_{n},x_{1},\ldots ,x_{n},m)={\begin{cases}ja&{\text{, wenn }}\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})>\prod _{i\in J}(1-p_{i})\prod _{i\in J^{c}}p_{i}\\nein&{\text{, wenn }}\prod _{i\in J}p_{i}\prod _{i\in J^{c}}(1-p_{i})<\prod _{i\in J}(1-p_{i})\prod _{i\in J^{c}}p_{i}\\m{\text{(ein Münzenwurf)}}&{\text{sonst}}.\end{cases}}$$

Interpretation der Lösung

Intuitive Ergebnisse

Viele Ergebnisse aus dem Modell sind intuitiv. Das ist schön - sie zeigen, dass das Model plausibel ist. Doch vorsichtig! Vertraue nie deiner Intuition bei den stochastischen Problemen. Stochastik ist kontraintuitiv, deswegen muss man alle Ergebnisse formal begründen. Hier sind diese Ergebnisse:

„Wenn man nur begrenze Anzahl der Personen befragen kann, frag die schlauesten Menschen.“

TODO: formale Begründung aufschreiben.

„Frag soviele Menschen wie möglich“.

TODO: Formale Begründung aufschreiben.

Wenig intuitive Ergebnisse

„Wer häufig daneben liegt, ist genau so wichtig wie ein Experte! Fragt ihn/sie und tu das Gegenteil.“

Begründung $p_{i}/(1-p_{i})$ ist genau dann maximal, wenn $(1-p_{i})/p_{i}$ minimal ist.

Wir nennen diese extraordinäre Menschen mit $p_{i}<1/2$ – „Antiexperten“ 😁.

Schlussfolgerung: Das wichtigste ist es, herauszufinden, wer ein Antiexperte ist. Jede Meinung mit $p_{i}>1/2$ ist wichtig. Wenn man Gegenteil von Antiexperten tut, konvertiert man jede Entscheidung in $p_{i}>1/2$.

„Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung  weniger als zwei Personen mit wenig Erfahrung.“
„Manchmal weiß eine Person mit viel Erfahrung  mehr als zwei Persone nmit wenig Erfahrung.“

Wir nummerieren die Menschen mit 1 für viel Erfahrung und 2, 3 mit wenig Erfahrung. Wir befragen sie. Wenn 1 sagt „Ja“ aber 2 und 3 sagen „nein“, wir wählen „ja“ nur wenn

$$p_{1}\cdot (1-p_{2})\cdot (1-p_{3})>(1-p_{1})\cdot p_{2}\cdot p_{3}.$$

Wenn zwei weniger Erfahrene gleiche Erfolgrswahrscheinlichkeiten $p_{1}=p_{2}$ haben, gilt für die obere Formel:

$${\begin{array}{rrl}&p_{1}\cdot (1-p_{2})^{2}&>(1-p_{1})\cdot p_{2}^{2}\\\Longleftrightarrow &p_{1}((1-p_{2})^{2}+p_{2}^{2})&>\cdot p_{2}^{2}\\\Longleftrightarrow &p_{1}&>{\frac {p_{2}^{2}}{(1-p_{2})^{2}+p_{2}^{2}}}.\end{array}}$$

Der Graph unten zeigt, wenn die „ja“-Meinung der ersten Person gleich wichtig ist, wie die „nein“-Meinungen der anderen beiden Personen. Das sind alle Punkten unterhalb der Linie. Die gerade blaue Linie zeigt, wenn alle gleiches Wissen haben, d.h. $p_{1}=p_{2}=p_{3}$. Man kann aus diesem Graphen schlussfolgern:

• Wenn eine wirklich gute Expertin ($p_{1}$ sehr nah an 1) „ja“ sagt, dann muss man wirklich gut sein ($p_{2}$ und $p_{3}$ auch nahe 1) und diese Meinung mit „nein“ überstimmen.

• Wenn man kein wirklich guter Experte ist ($p_{1}$ nicht nah an 1) und „ja“ sagt, dann reichen zwei weniger Erfahrene aus, um diese Antwort mit „nein“ zu überstimmen.

Implementierung

R Implementierung

# "Yes" is 1, "No" is 0.
decide<-function(p, w){
  # p are probabilities for correct answer.
  # x are results of a survey.
  # Invert x when p < 1/2.
  x[p<0.5]<-!x[p<0.5]
  if(sample_consistant(p,x)){
    m <- rbinom(10, 1, prob=0.5)
    return(f(p, x, m))
  }else{
    stop("Inconsistant results: two different answers are possible.")
  }
}

sample_consistant<-function(p,x){
  # Sample x is NOT consistant, when two persons are always right but
  # give different answers.
  sure_events = unique(x[p]==1)
  return (length(sure_events)<=1)
}

f<-function(p,x,m){
  pos<-positive(x,p)
  if(pos > 0.5){
    return(1)
  }else if(pos < 0.5){
    return(0)
  }else{
    return(m)
  }
}

positive<-function(x,p){
  # Return probability for the positive_answer.
  a <- prod(p[x])*prod((1-p)[!x])
  b <- prod((1-p)[x])*prod(p[!x])
  return(a/(a+b))
}

p <- c(0.9, 0.7, 0.7)
x <- c(1,0,0) # Opinions are "Yes", "No", "No".
decide(p, x) # Decision is "Yes".
p <- c(0.84, 0.7, 0.7)
decide(p, x) # Decision is "No".

Referenzen

Youtube Kanal von Nikolai Osipov (Николай Николаевич Осипов), über kollektive Intelligenz. https://www.youtube.com/channel/UCuH_xeNX7KKIYHeZXaPO_OA

Notizen

„ja“ und „nein“ vs „richtig“ und „falsch“

Mein erstes Modell war nicht mit „ja“ und „nein“ sondern mit „richtig“ und „falsch“. Dieses Modell verleiht dazu, eine Entscheidungsfunktion zu konstruieren, die immer „richtig“ zurückgibt, ohne die Antworten von Experten zu berücksichtigen. Das ist zu unrealistisch. Ich werde später mir dieses Modell nochmal ansehen und Zusammenhang zu dem „ja“-„nein“-Modell analysieren.

Fast keine Ahnung ist auch gut

Ich habe ein Gefühl, dass „Fast keine Ahnung“-Leute, das sind Leute mit $p_{i}=1/2+\varepsilon$, sehr wichtig sind. Vielleicht senken sie die Varianz der Entscheidungsfunktion auf Grund des Gesetzes der Großen Zahlen.